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Projekt: Mandelbrot Fraktalgenerator

Koloriertes Mandelbrot-Fraktal Koloriertes Mandelbrot-Fraktal Koloriertes Mandelbrot-Fraktal Koloriertes Mandelbrot-Fraktal

Beschreibung

Der Mandelbrot Fraktalgenerator macht, was sein Name schon sagt, er generiert Fraktale aus der Mandelbrot Menge (engl: Mandelbrot Set). Bis jetzt kann man zoomen und eine Option zum Einfärben auswählen. Die entstehenden Bilder sieht man ja hier...

Features:

Wie komme ich auf Mandelbrot Fraktale?

Wie der Funktionsplotter stammt auch diese Idee aus dem Informatikunterricht. Im Nachhinein muss ich sagen, hätte ich es mir nicht so einfach bzw. kurz vorgestellt. Die eigentliche Rechnung ist nur ein paar Zeilen lang.

Wie funktioniert das?

Die Funktion beruht auf komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl lässt sich als ein Punkt in einem Koordinatensystem darstellen. Dabei liegt der reele Teil auf einer Achse und der imaginäre auf der anderen. Rechenoperationen, die man mit zwei komplexen Zahlen ausführt, entsprechen dann bestimmten geometrischen Transformationen.
Die Addition wird analog zu zweidimensionalen Vektoren ausgeführt. Sie entspricht einer Verschiebung.
Die Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) entspricht dem Skalarprodukt der Vektorrechnung.
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen entspricht hingegen einer Drehung und/oder Verlängerung/Verkürzung.

Soweit die Theorie der komplexen Zahlen, nun zu den Fraktalen. Führt man wiederholt die gleichen Rechenoperationen, Quadrieren und Verschieben, aus, dann kann der Abstand vom Ursprung entweder sehr schnell ins Unendliche steigen oder relativ klein bleiben. Wenn man nun für jeden Punkt des gedachten Koordinatensystems diese Operationen wiederholt durchführt und prüft, nach wie vielen Wiederholungen der Grenzwert erreicht ist, kann man aus der Anzahl der Wiederholungen ein Fraktal zeichnen.

Diese Zuweisung beschreibt die durchgeführten Operationen. Dabei sind z und c komplexe Zahlen:
z -> z2 + c
Zerlegt man die komplexen Zahlen z in x und iy und c in p und iq, dann kann man die Zuweisung so schreiben:
xn+1 = xn2 - yn2 + p
yn+1 = 2xnzn + q

Die Mandelbrot Menge erhält man, wenn man als Ausgangspunkt für die Operationen immer den Ursprung (0) verwendet. Die konstante Verschiebung wird hier für jeden Pixel des Fraktal-Bildes unterschiedlich gesetzt. Dadurch erhält man die charakteristisch geformten Mandelbrot-Fraktale, auch Apfelmännchen genannt.

Screenshots

und das sind die screenshots


Entwicklung

Als Entwicklungsumgebung verwende ich Dev-C++ von Bloodshed mit dem GNU C Compiler.

Download

Achtung, das Programm befindet sich zur Zeit noch in der Entwickluing, Sie benutzen es auf eigene Gefahr!
Wer es trotzdem wagen möchte...
Download der neusten Version:
Download starten mandelbrot-0.01a.zip (Version 0.01a, Release Date: 12.7.2006)

Falls Sie Fehler finden oder Verbesserungen vorschlagen möchten, treten sie bitte mit mir in Kontakt.

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